Question

Даны уравнения:

x^{4}+6x^{3}-8x^{2}-6x+7=0

x^{5}+4x^{3}+5x-17=0

x^{4}-11x^{3}=6x-101=0

x^{3}+4x^{2}-19x+14=0

x^{4}-50x^{2}+49=0

Выберите из них те, для которы число -7 является корнем. Какие из этих уравнений можно исключить сразу, не выполняя вычислений?

Answer 1

по теореме Безу, свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами
значит сразу не подходят уравнения: 
$x^{5}+4x^{3}+5x-17=0$ и $x^{4}-11x^{3}-6x-101=0$, так как -17 и -101 на -7 нацело не делится
для уравнения $x^{4}-50x^{2}+49=0$ корни х=-7, х=7, х=1 и х=-1;
для того что бы найти корни уравнения $x^{3}+4x^{2}-19x+14=0$ его необходимо разложить на множители, т.е. столбиком поделить на х+7
$(x+7)(x^2-3x+2)=0$
(x+7)(x-2)(x-1)=0
корни х=-7, х=2, х=1
для того что бы найти корни уравнения x^{4}+6x^{3}-8x^{2}-6x+7=0 его необходимо разложить на множители, т.е. столбиком поделить на х+7
$(x+7)(x^3-x^2-x+1)=0$
$(x+7)(x^2(x-1)-(x-1)=0$
$(x+7)(x^2-1)(x-1)=0$
корни х=-7, х=1 и х=-1