Question

В треугольнике ABC угол С равен 90 градусов, радиус вписанной окружности равен 2. Найдите площадь треугольника ABC, если AB=12.

Answer 1

Нарисуем треугольник АВС ( С=90°) и вписанную в него окружность. 
Из центра в точки касания проведем радиусы, которые, как известно, перпендикулярны касательным в точках касания. 
Обозначим точки касания К на АС, М - на СБ, и Н на АВ. 
По свойству отрезков касательных
АК=АН, МВ=ВН, и  КС=СМ=r=2 
Пусть МВ=х 
Тогда ВН=х, а АК=АН=12-х 
АС=12-х+2=14-х 
ВС=х+2 
По т.Пифагора АС²+ВС²=АВ² 
(14-х)²+(2+х)²=144⇒ 
x² - 12*x + 28 = 0 
D=32 
х₁=(12+ 2√8):2=6 + √8
х₂=6-√8 
ВС=6 + √8+2=8+√8 
АС=14-(6 + √8)=8-√8 
S (АВС)=АС*ВС:2=(8+√8)(8-√8) 
S (АВС)=(64-8):2=28 (единиц площади)
---
Площадь будет такой же, если используем второе значение х₂=6-√8