Question

20 баллов! одно задание. Искренне прошу у вас помощи!
Помогите, пожалуйста, очень срочно! Верное, подробное и понятное решение, прошу...
Алгебра, 9 класс.

Если cosα = 1/2√2, то найдите cos5α - cosα​

Answer 1

$cosa=\dfrac{1}{2\sqrt2}=\dfrac{1}{\sqrt8}\\\\cos5a=cos(3a+2a)=cos3a\cdot cos2a-sin3a\cdot sin2a=\\\\=(4cos^3a-3cosa)(2cos^2a-1)-(3sina-4sin^3a)\cdot 2\, sina\cdot cosa=\\\\=8cos^5a-10cos^3a+3cosa-6sin^2a\cdot cosa+8sin^4a\cdot cosa\; ;\\\\sin^2a=1-cos^2a=1-\Big(\dfrac{1}{2\sqrt2}\Big)^2=1-\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8}\; ;\\\\sin^4a=(sin^2a)^2=\Big(\dfrac{7}{8}\Big)^2=\dfrac{49}{64}\; ;$

$cos5a=8\cdot \Big(\dfrac{1}{\sqrt8}\Big)^5-10\cdot \Big(\dfrac{1}{\sqrt8}\Big)^3+3\cdot \dfrac{1}{\sqrt8}-6\cdot \dfrac{7}{8}\cdot \dfrac{1}{\sqrt8}+8\cdot \dfrac{49}{64}\cdot \dfrac{1}{\sqrt8}=\\\\\\=\dfrac{8}{8^2\sqrt8}-\dfrac{10}{8\sqrt8}+\dfrac{3}{\sqrt8}-\dfrac{21}{4\sqrt8}+\dfrac{49}{8\sqrt8}=\dfrac{1}{8\sqrt8}-\dfrac{10}{8\sqrt8}+\dfrac{3}{\sqrt8}-\dfrac{21}{4\sqrt8}+\dfrac{49}{8\sqrt8}=\\\\\\=\dfrac{1-10+24-42+49}{8\sqrt8}=\dfrac{22}{8\sqrt8}=\dfrac{11}{4\sqrt8}$

$\cos5a-cosa=\dfrac{11}{4\sqrt8}-\dfrac{1}{\sqrt8}=\dfrac{11-4}{4\sqrt8}=\dfrac{7}{4\sqrt8}=\dfrac{7}{8\sqrt2}$

P.S.  Можно было воспользоваться формулой разности косинусов, но тогда при вычислении нужно было бы вычислять  sinα  и sin3α , для которых надо было определять , в какой четверти находится угол α . А если этого не определять,то было бы два случая, когда  sinα>0  и  когда sinα<0, что дольше решать... Функции же  sin²α≥0  и  sin⁴α≥0  при любом α .