Question

Используя формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение, упростите выражение cos2α-cos6α и найдите его значение, если cosα=1/√3.

Answer 1

Применим формулу разности косинусов:

$\displaystyle \cos 2\alpha - \cos 6\alpha = - 2 \sin \frac{2\alpha + 6\alpha }{2} \; \sin \frac{2\alpha - 6\alpha }{2} = -2 \sin 4\alpha \; \sin (-2 \alpha )$

Теперь заметим, что $\sin (-2\alpha ) = -2 \sin \alpha$, откуда:

$\displaystyle -2 \sin 4\alpha \; \sin (-2 \alpha ) = 2 \sin 4\alpha \; \sin (2 \alpha )$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла для $\sin 4\alpha$:

$2 \; \sin 2(2\alpha) \; \sin (2 \alpha ) = 2 (2 \sin 2\alpha \; cos 2\alpha ) \; \sin 2\alpha = 4 \sin^2 2\alpha \; \cos 2\alpha$

Преобразуем $\cos 2\alpha$:

$4 \sin^2 2\alpha \; \cos 2\alpha =4 \sin^2 2\alpha \; (1 - 2\sin^2 \alpha ) = 4 \sin^2 2\alpha \; (1 - 2 (1 -\cos^2 \alpha )) =\\= 4 \sin^2 2\alpha \; ( 2 \cos^2 \alpha -1 )$

И $\sin^2 2\alpha$, заключительные упрощения, по уже использовавшимся формулам:

$4 \; \sin^2 2\alpha \; ( 2 \cos^2 \alpha -1 ) = 4 (1- \cos^2 2\alpha) \; ( 2 \cos^2 \alpha -1 ) = \\= 4 \; (1- \cos2\alpha) \; (1 + \cos2\alpha) \; ( 2 \cos^2 \alpha -1 ) = \\=4 \; (2 \sin^2 \alpha ) \; (2 - 2 \sin^2 \alpha ) \; ( 2 \cos^2 \alpha -1 ) = \\=16 \; (\sin^2 \alpha ) \; (1- \sin^2 \alpha ) \; ( 2 \cos^2 \alpha -1 ) = \\=16 \; (1- \cos^2 \alpha ) \; (cos^2 \alpha ) \; ( 2 \cos^2 \alpha -1 )$

Осталось подставить $\cos \alpha = 1/\sqrt{3}$:

$\displaystyle 16 \; (1- \cos^2 \alpha ) \; (cos^2 \alpha ) \; ( 2 \cos^2 \alpha -1 ) =\\\\= 16 \; \bigg (1 - \bigg ( \frac{1}{\sqrt{3}} \bigg )^2 \bigg ) \bigg ( \frac{1}{\sqrt{3}} \bigg )^2 \bigg ( 2 \; \bigg ( \frac{1}{\sqrt{3}} \bigg )^2 - 1 \bigg ) =\\\\= 16 \cdot \bigg ( 1 - \frac{1}{3} \bigg ) \cdot \bigg (\frac{1}{3} \bigg ) \cdot \bigg ( \frac{2}{3} - 1 \bigg ) = - 16 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = - \frac{32}{27}$

В итоге имеем $-\dfrac{32}{27}$, $- 1\dfrac{5}{27}$ или $-1,(185)$.

Задача решена!