Question

90 БАЛОВ!!!

Найти области сходимости рядов

Answer 1

$1)\; \; \sum \limits _{n=1}^{\infty }e^{-n^2x}\\\\ \lim\limits _{n \to +\infty}\dfrac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|}= \lim\limits _{n \to +\infty}\dfrac{e^{-(n+1)^2x}}{e^{-n^2x}}= \lim\limits _{n \to +\infty}\dfrac{e^{(-n^2-2n-1)x}}{e^{-n^2x}}= \lim\limits _{n \to +\infty}\; e^{-(2n+1)x}=\\\\\\= \lim\limits _{n \to +\infty}\dfrac{1}{e^{(2n+1)x}}=\left\{\begin{array}{l}0<1\; ,\; esli\; x>0\; ,\\+\infty \; ,\; esli\; x\leq 0\; .\end{array}\right$

$esli\; \; x\in (0,+\infty )\; ,to\; \; e^{(2n+1)x}\to +\infty \; ,\; \; \dfrac{1}{ e^{(2n+1)x}}\to 0<1\\\\esli\; \; x\in (-\infty ,0)\; ,to\; \; e^{(2n+1)x}\to 0\; ,\; \; \frac{1}{ e^{(2n+1)x}}\to \infty\\\\Otvet:\; \; x\in (0;+\infty )\; .$

$2)\; \; \sum \limits _{n=1}^{+\infty }\, 2^{n}\cdot x^{n}=\sum \limits _{n=1}^{+\infty }\, (2x)^{n}\\\\ \lim\limits _{n \to +\infty}\sqrt[n]{|u_{n}(x)|}= \lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt[n]{|2x|^{n}}=|2x|<1\\\\-1<2x<1\; \; \; \Rightarrow \; \; \; -\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2}\\\\x=\frac{1}{2}:\; \; \sum \limits _{n=1}^{+\infty }1=1+1+1+\, ...\; \; rasxoditsya\\\\x=-\frac{1}{2}:\; \; \sum \limits _{n=1}^{+\infty }(-1)^{n}=-1+1-1+...rasxoditsya\\\\Otvet:\; \; x\in \Big(-\dfrac{1}{2}\, ;\, \dfrac{1}{2}\Big)\; .$

$3)\; \; \sum \limits _{n=1}^{+\infty }\; \dfrac{x^{n}}{n\cdot 3^{n-1}}\\\\ \lim\limits _{n \to +\infty}\dfrac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|}=\lim\limits _{n \to +\infty}\dfrac{|x|^{n+1}}{(n+1)\cdot 3^{n}}\; :\;\dfrac{|x|^{n}}{n\cdot 3^{n-1}}= \lim\limits _{n \to +\infty}\, \dfrac{|x|}{3}=\dfrac{|x|}{3}<1\\\\\\|x|<3\; \; \; \Rightarrow \; \; \; -3<x<3$

$x=3:\; \; \sum \limits _{n=1}^{+\infty }\dfrac{3}{n}\; -\; rasxoditsya\; (garmonicheskij\; ryad)\\\\x=-3:\; \; \sum \limits _{n=1}^{+\infty }\dfrac{(-1)^{n}\cdot 3}{n}\; -\; sxoditsya\; \; yslovno$

 

$Otvet:\; \; x\in [-3\, ;\, 3\; )\; .$