Question

у'' − у′ = sin + 2cosx

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Помогите пожалуйста срочно

Answer 1

$y''-y'=sinx+2cosx\\\\\\1)\; \; y''-y'=0\; \; ,\; \; \; k^2-k=0\; ,\; \; k\, (k-1)=0\; ,\; \; k_1=0\; ,\; k_2=1\\\\y_{oo}=C_1e^{0\cdot x}+C_1e^{x}=C_1+C_2e^{x}\\\\\\2)\; \; \widetilde{y}=Asinx+Bcosx\\\\\widetilde{y}\, '=Acosx-Bsinx\\\\\widetilde{y}\, ''=-Asinx-Bcosx\\\\\\\widetilde{y}\, ''-\widetilde{y}\, '=(-Asinx-Bcosx)-(Asinx+Bcosx)=-2Asinx-2Bcosx\\\\-2Asinx-2Bcosx=sinx+2cosx\\\\sinx\; \Big|\; -2A=-1\; \; ,\; \; A=\frac{1}{2}\\\\cosx\; \Big |\; -2B=2\; ,\; \; B=-1\\\\\widetilde{y}=\frac{1}{2}sinx-cosx$

$y=y_{oo}+\widetilde {y}\; \; ,\; \; \; \boxed {\; y=C_1+C_2e^{x}+\frac{1}{2}\, sinx-cosx\; }$