Question

Вычислить интеграл (с проверкой):
$intsqrt{2-x-x^{2}}$

Answer 1

Воспользуемся формулой

$intsqrt{a^2-t^2}dt=frac{t}{2}sqrt{a^2-t^2}+frac{a^2}{2}arcsin(frac{t}{a})+C$

Теперь сам интеграл следует привести к этому виду

$intsqrt{2-x-x^2}dx=intsqrt{2+0,25-0,25-x-x^2}dx=$

$=intsqrt{2,25-(0,25+x+x^2)}dx=intsqrt{2,25-(0,5+x)^2)}dx=$

$=intsqrt{2,25-(0,5+x)^2)}d(x+0,5)$
Замена t=x+0,5.

$intsqrt{2,25-t^2}dt=intsqrt{1,5^2-t^2}dt=frac{t}{2}sqrt{2,25-t^2}+frac{2,25}{2}arcsinfrac{t}{1,5}+C$

Теперь подставим вместо t его значение (x+0,5).

$=frac{x+0,5}{2}sqrt{2,25-(x+0,5)^2}+frac{2,25}{2}arcsin(frac{x+0,5}{1,5})+C=$

$=frac{x+0,5}{2}sqrt{2-x-x^2}+frac{9}{8}arcsin(frac{2*(x+0,5)}{3})+C=$ 

$=frac{x+0,5}{2}sqrt{2-x-x^2}+frac{9}{8}arcsin(frac{2x+1}{3})+C=$

$=frac{2x+1}{4}sqrt{2-x-x^2}+frac{9}{8}arcsin(frac{2x+1}{3})+C=$

А проверку я напишу во вложении. Она сложная, лучше ее отсканированным файлом отправить.