Question

Решить систему дифференциальных уравнений:
x'=5x+8y
y'=3x+3y

Answer 1

$\begin{cases} x'=5x+8y \\ y'=3x+3y \end{cases}$

Продифференцируем первое уравнение:

$x''=5x'+8y'$

Подставим в него выражение для $y'$:

$x''=5x'+8(3x+3y)$

$x''=5x'+24x+24y$

Составим систему из умноженного на 3 первого уравнения исходной системы и только что полученного уравнения:

$\begin{cases} 3x'=15x+24y \\ x''=5x'+24x+24y \end{cases}$

От второго уравнения отнимем первое:

$x''-3x'=5x'+24x-15x$

$x''-8x'-9x=0$

Составим характеристическое уравнение:

$\lambda^2-8\lambda-9=0$

$(\lambda+1)(\lambda-9)=0$

$\lambda_1=-1;\ \lambda_2=9$

Решение для $x$:

$x=C_1e^{-t}+C_2e^{9t}$

Из первого уравнения системы выразим $y$:

$y=\dfrac{x'-5x}{8}$

Найдем $x'$:

$x'=-C_1e^{-t}+9C_2e^{9t}$

Решение для $y$:

$y=\dfrac{-C_1e^{-t}+9C_2e^{9t}-5(C_1e^{-t}+C_2e^{9t})}{8}$

$y=\dfrac{-C_1e^{-t}+9C_2e^{9t}-5C_1e^{-t}-5C_2e^{9t}}{8}$

$y=\dfrac{-6C_1e^{-t}+4C_2e^{9t}}{8}$

$y=-\dfrac{3}{4} C_1e^{-t}+\dfrac{1}{2} C_2e^{9t}$

Ответ: $\begin{cases} x=C_1e^{-t}+C_2e^{9t} \\ y=-\dfrac{3}{4} C_1e^{-t}+\dfrac{1}{2} C_2e^{9t}\end{cases}$