Question

x(x-1)y'+2xy=1 pleaseeeeee

Answer 1

$x(x - 1)y' + 2xy = 1$

Разделим обе части уравнения на $x(x - 1) \neq 0$

$y' + \dfrac{2}{x - 1}y = \dfrac{1}{x(x - 1)}$

Имеем линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Воспользуемся методом Бернулли: $y = uv; \ y' = u'v+uv'$, где $u = u(x), \ v = v(x)$

Имеем:

$u'v + uv' + \dfrac{2}{x - 1}uv = \dfrac{1}{x(x - 1)}$

$u'v + u\left(v' + \dfrac{2}{x - 1}v\right) = \dfrac{1}{x(x - 1)}$

Пусть $v' + \dfrac{2}{x - 1}v = 0$. Тогда $u'v = \dfrac{1}{x(x-1)}$

Решим первое дифференциальное уравнение:

$v' + \dfrac{2}{x - 1}v = 0$

$\dfrac{dv}{dx} =- \dfrac{2}{x - 1}v$

$\dfrac{dv}{v} = -\dfrac{2}{x-1}dx$

$\displaystyle \int\dfrac{dv}{v} = -\int \dfrac{2}{x-1}dx$

$\ln|v| = - 2\ln |x - 1|$

$\ln|v| = \ln \dfrac{1}{(x-1)^{2}}$

$v = \dfrac{1}{(x - 1)^{2}}$

Решим второе дифференциальное уравнение:

$u'v = \dfrac{1}{x(x-1)}$

$\dfrac{du}{dx} \cdot \dfrac{1}{(x - 1)^{2}}= \dfrac{1}{x(x-1)}$

$du = \dfrac{x-1}{x} dx$

$du =\left(1 - \dfrac{1}{x}\right) dx$

$\displaystyle \int du = \int \left(1 - \dfrac{1}{x}\right) dx$

$u = x - \ln|x| + C$

Обратная замена:

$y = uv = (x - \ln|x| + C) \cdot \dfrac{1}{(x - 1)^{2}} = \dfrac{x - \ln |x| + C}{(x-1)^{2}}$

Ответ: $y = \dfrac{x - \ln |x| + C}{(x-1)^{2}}$