Question

Дифференцированные уравнения.

Найти общее решение уравнения.

4y'' + 3y' - y = ( 5x^2 ) + x

Полное решение, чем подробнее тем лучше. За ранее спасибо, если поможете очень выручите.

Answer 1

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения

$4y''+3y'-y=0$

Пусть $y=e^{kx}$, мы получим характеристическое уравнение

$4k^2+3k-1=0$

$k_1=-1\\ k_2=\frac{1}{4}$

$y_{o.o.}=C_1e^{-x}+C_2e^{\frac{x}{4}}$ — общее решение однородного диф. ур.

Найдём теперь частное решение. Рассмотрим функцию $f(x)=5x^2+x$

$P_n(x)=5x^2+x$ отсюда $n=2$; $\alpha =0$. Сравнивая $\alpha$ с корнями характеристического уравнения и, принимая во внимая, что $\alpha =0$, частное решение будем искать в виде:

$\overline{y}=Ax^2+Bx+C\\ y'=2Ax+B\\ y''=2A$

Подставляем в исходное дифференциальное уравнение

$4\cdot 2A+3\cdot (2Ax+B)-(Ax^2+Bx+C)=5x^2+x\\ \\ 8A+6Ax+3B-Ax^2-Bx-C=5x^2+x\\ \\ -Ax^2+(6A-B)x+8A+3B-C=5x^2+x$

Приравниваем коэффициенты при степени x

$-A=5$ откуда $A=-5$

$6A-B=1$ откуда $B=-31$

$8A+3B-C=0$ откуда $C=-133$

Частное решение: $\overline{y}=-5x^2-31x-133$

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

$y=y_{o.o.}+\overline{y}=C_1e^{-x}+C_2e^{\frac{x}{4}}-5x^2-31x-133$