Question

Даю 20 баллов. Помогите пожалуйста.

Решите уравнение x^4 + 4x^3 - 4x^2 - 24x - 9=0. В ответ записать наименьший корень.

Answer 1

Преобразуем левую часть:

$x^4+3x^3+x^3+3x^2-7x^2-21x-3x-9=0;\\\\x^3(x+3)+x^2(x+3)-7x(x+3)-3(x+3)=0\\\\(x+3)(x^3+x^2-7x-3)=0\\\\(x+3)(x^3+3x^2-2x^2-6x-x-3)=0\\\\(x+3)(x^2(x+3)-2x(x+3)-(x+3)=0\\\\(x+3)(x+3)(x^2-2x-1)=0\\\\(x+3)^2(x^2-2x-1)=0$

Соответственно, или $x+3=0\Rightarrow x=-3$, или $x^2-2x-1=0$.

Последнее уравнение решаем с помощью дискриминанта, поскольку, очевидно, целых решений оно не имеет и теорему Виета применить будет трудно.

$D=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-1)=4+4=8;\\\\x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt8}{2}=\frac{2\pm2\sqrt2}{2}=1\pm\sqrt2$

Квадратное уравнение дает еще два корня: $x=1-\sqrt2$ и $x=1+\sqrt2$. Однако наименьший корень - все же $x=-3$.

ОТВЕТ: -3.