Question

Найти интегралы, используя метод замены (подстановки)

Answer 1

$1)\; \; \int \dfrac{cosx}{3+2sinx}\, dx=\Big[\; t=3+2sinx\; ,\; dt=2cosx\, dx\; \Big]=\dfrac{1}{2}\int \; \dfrac{dt}{t}=\\\\=\dfrac{1}{2}\cdot ln|t|+C=\dfrac{1}{2}\cdot ln|3+2sinx|+C\\\\\\2)\; \; \int e^{cosx}\cdot sinx\, dx=\Big[\; t=cosx\; ,\; dt=-sinx\, dx\; \Big]=-\int e^{t}\cdot dt=\\\\=-e^{t}+C=-e^{cosx}+C$

$3)\; \; \int sin(5x)\, dx=\Big[\; t=5x\; ,\; dt=5\, dx\; \Big]=\dfrac{1}{5}\int sint\cdot dt=\\\\=\dfrac{1}{5}\cdot (-cost)+C=-\dfrac{1}{5}\cdot cos(5x)+C$

$4)\; \; \int \dfrac{1}{2cos^2\frac{x}{2}}\, dx=\Big[\; t=\dfrac{x}{2}\; ,\; dt=\dfrac{dx}{2}\; \Big]=\int \dfrac{dt}{cos^2t}=tgt+C=tg\dfrac{x}{2}+C$