Question

Числитель обыкновенной дроби на 1 меньше знаменателя. Если числитель и знаменатель дроби увеличить на 4, то полученная дробь на 1/3 больше исходной. Найдите исходную дробь.

Answer 1

Решение :

Пусть числитель обыкновенной дроби равен $x$. Тогда ее знаменатель, по условию, на $1$ больше: $x+1$.

При увеличении числителя и знаменателя на $4$, мы получаем   $\displaystyle \frac{x+4}{x+5}$. Так как дробь должна быть на   $\dfrac{1}{3}$   больше, чем   $\dfrac{x}{x+1}$, то можно составить и решить уравнение:

                  $\displaystyle \frac{x}{x+1} + \frac{1}{3} = \frac{x+4}{x+5} \;\;\; \Big | \cdot 3(x+1)(x+5) \ne 0 \\\\ 3x(x+5) + (x+1)(x+5) = 3(x+1)(x+4) \\\\ 3x^2 + 15x + x^2 + x + 5x + 5 = 3x^2 + 3x + 12x + 12 \\\\ x^2 + 6x - 7 = 0$

Полученное квадратное уравнение можно решить, как и с помощью теоремы Виета

                 $x_1 + x_2 =-6, \;\; x_1x_2=-7 \;\;\; \Rightarrow \;\;\; x_1 = 1, \;\; x_2=-7$,

так и с помощью дискриминанта (который, кстати, больше ноля):

                 $x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \dfrac{-6 + \sqrt{64}}{2} = 1, \\\\x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \dfrac{-6 - \sqrt{64}}{2} = -7.$

Еще можно было заметить, что сумма коэффициентов равна единице, и поэтому первый корень мы уже знаем ($x_1=1$).

• Так или иначе, мы получили два корня (причем ни один из них не дает ноля в знаменателе первоначального уравнения).

Так как дробь обыкновенная, то нам подходит исключительно первый корень. И искомая дробь - это $1/2$:

                $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1+4}{2+4} = \dfrac{5}{6}$

Ответ :   1 / 2 .