Question

-4у’’+4у’=(х-1)е^х найти общее решение диф уравнения

Answer 1

$-4y''+4y'=(x-1)e^{x}\\\\1)\; \; -4k^2+4k=0\; \; ,\; \; -4k\, (k-1)=0\; ,\; \; \; k_1=0\; ,\; k_2=1\\\\y_{oo}=C_1+C_2e^{x}\\\\2)\; \; \widetilde{y}=e^{x}\cdot (Ax+B)\cdot x=e^{x}\cdot (Ax^2+Bx)\\\\\widetilde{y}\, '=e^{x}\cdot (Ax^2+Bx)+e^{x}\cdot (2Ax+B)\\\\\widetilde{y}\, ''=e^{x}\cdot (Ax^2+Bx)+e^{x}\cdot (2Ax+B)+e^{x}\cdot (2Ax+B)+e^{x}\cdot 2A\\\\\\-4\widetilde{y}\, ''+4\widetilde{y}\, '=-4\, e^{x}\cdot (2Ax+B)-4\, e^{x}\cdot 2A=e^{x}\cdot (-8Ax-4B-8A)\\\\e^{x}\cdot (-8Ax-4B-8A)=e^{x}\cdot (x-1)$

$-8A\cdot x^1+(-4B-8A)\cdot x^0=x^1-1\cdot x^0\\\\x^1\; \Big|\; -8A=1\; \; ,\; \; \qquad A=-\frac{1}{8}\; \; ,\\\\x^0\; \Big|\; -4B-8A=-1\; ,\; \; 4B=1-8A=1+8\cdot \frac{1}{8}=2\; ,\; B=\frac{1}{2}\; \; .\\\\\\\widetilde {y}=e^{x}\cdot (-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{2}\cdot x)=-\frac{1}{8}\, x\cdot (x-4)\cdot e^{x}\\\\\\\boxed {\; y=y_{oo}+\widetilde {y}=C_1+C_2\, e^{x}-\frac{1}{8}\, x\cdot (x-4)\cdot e^{x}\; }$