Question

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 121^х + (3а^2-а+4) * 11^х - 5а -2=0 имеет единственный корень

Answer 1

Рассмотрим функцию $f(t) = t^2 + (3a^2 - a + 4)t - 5a - 2$. Тогда исходное уравнение имеет вид: $f(11^x) = 0$.

Заметим, что любой положительный корень уравнения $f(t) = 0$ однозначно определяет корень уравнения $f(11^x) = 0$ (это верно в силу того, что уравнение $11^x = t$ (относительно $x$) имеет ровно одно решение, так как показательная функция монотонно возрастает на своей области определения). Тогда переформулируем задачу.

При каких значениях параметра $a$, уравнение $f(t)=0$ имеет ровно один положительный корень?

График $y = f(t)$ представляет собой параболу с ветвями вверх.

Исследуем местоположение ее вершины.

$t_v = - \frac{3a^2-a+4}{2}$.

Заметим, что при любом значении параметра $a$, $t_v < 0$ (это следует из отрицательности дискриминанта). Это говорит о том, что либо у нас вообще нет корней (вершина находится выше оси абсцисс), либо у нас таки есть корень, но он обязательно будет отрицательным.

Для того чтобы мы имели положительный корень, необходимо и достаточно потребовать следующее условие: $f(0) < 0$.

Тогда имеем $-5a - 2 < 0 \Leftrightarrow a > -0,4$.

Ответ: $a \in (-0,4; +\infty)$.