Question

Решите уравнение:
$x^3-[x]=3$,
где $[x]$ - целая часть числа $x$

Answer 1

Заметим, что $x^{3}=3+[x]$, то есть $x^3$ — целое число. Это означает, что $x=\sqrt[3]{m},\; m\in\mathbb{Z}$, где $m=x^3$; Имеем: $m=3+[\sqrt[3]{m}]$; Теперь надо отметить, что число $m$ лежит между двумя кубами: $n^{3}$ и $(n+1)^3$; Пусть $m>0$. Тогда $[\sqrt[3]{m}]=n$; Но $m\geq n^3$, тогда $3+n\geq n^3$. Решим это неравенство:

Докажем, что для $n\geq 2$ решений нет. Действительно, касательная к $x^3$ в точке $x_{0}=2$ имеет вид $12(x-2)+8$; Более того, для $x>0$ $x^3$ выпукла вниз ($(x^3)''=6x$); Значит, для $n\geq 2$ $n^3\geq 12(n-2)+8>n+3$; Осталось проверить значение 1, которое подходит.

Значит, $m=4$ и $x=\sqrt[3]{4}$; Если $m\leq 0$, то аналогично $n=[\sqrt[3]{m} ]$ и неравенство уже справедливо для всех $n\leq 0$; Но $m\leq (n+1)^3$ поэтому $3+n \leq (n+1)^3$, что не имеет решений при отриц. $n$. Здесь аналогично. Рассмотрим касательную в точке $-1-\frac{1}{\sqrt{3}}$; Тогда она имеет вид: $x+\frac{1}{\sqrt{3}}+1-(\frac{1}{\sqrt{3}})$; По выпуклости вверх на интервале $(-\infty,\; -1)$ можно записать неравенство для $n\leq -1-\frac{1}{\sqrt{3}}$: $(n+1)^3\leq x+\frac{1}{\sqrt{3}}+1-(\frac{1}{\sqrt{3}}) <x+3$; Тем самым, остается проверить значения $n=-1$ и $n=0$. Они не подходят, откуда заключаем, что решение единственно.

Ответ: $x=\sqrt[3]{4}$