Question

Помогите решить неравенство
$4^{x-3}-2^{x-3}(16-x^{2})-16x^{2}\geq0$

Answer 1

Ответ:

$[7;\;+\infty)$

Объяснение:

Выполним разложение на множители:

$4^{x-3}-2^{x-3}(16-x^2)-16x^2\ge0\\4^{x-3}-2^{x-3}\times16+2^{x-3}\times x^2-16x^2\ge0\\4^{x-3}+2^{x-3}\times x^2-16(2^{x-3}+x^2)\ge0\\2^{x-3}(2^{x-3}+x^2)-16(2^{x-3}+x^2)\ge0\\(2^{x-3}+x^2)(2^{x-3}-16)\ge0$

Заметим, что в первой скобке первое слагаемое дает положительное, а второе неотрицательное значение. Значит первая скобка - это всегда положительное значение. Тогда второй множитель может быть только неотрицательным (т.е. положительным или равным 0).

Учитывая это перепишем неравенство:

$2^{x-3}-16\ge0\\2^{x-3}\ge2^4\\x-3\ge4\\x\ge7\\x\in[7;\;+\infty)$

Неравенство решено!