Question

Решите уравнение:

(x/(x-1))^2 + (x/(x+1))^2 = 10/9 

Answer 1

$(frac{x}{x-1})^2+(frac{x}{x+1})^2=frac{10}{9}$

$frac{x^2(x+1)^2+x^2(x-1)^2}{(x-1)^2(x+1)^2}=frac{10}{9}$

$9x^2(x^2+2x+1+x^2-2x+1)=10(x-1)^2(x+1)^2$

$9x^2(2x^2+2)=10(x^2-1)^2$

$18x^4+18x^2=10x^4-20x^2+10$

$8x^4+38x^2-10=0$

Произведём замену: $x^2=t$

$8t^2+38t-10=0$

$t^2+4,75t-1,25=0$

по теореме Виета:

$t_1=-5;t_2=0,25$

Сделаем обратную замену:

$x^2=-5$

нет корней

$x^2=0,25$

$x_1=-0,5;x_2=0,5$

Ответ: -0,5; 0,5.

 

Answer 2

$(frac{x}{x-1})^{2}+(frac{x}{x+1})^{2}=frac{10}{9}$

 

$frac{x^{2}}{(x-1)^{2}}+frac{x^{2}}{(x+1)^{2}}=frac{10}{9}$

 

Отметим ОДЗ.

$left { {{(x-1)^{2}neq0} atop {(x+1)^{2}neq0}} right$

 

$left { {{xneq1} atop {xneq-1}} right$

 

$frac{x^{2}}{x^{2}-2x+1}+frac{x^{2}}{x^{2}+2x+1}=frac{10}{9}$ /·$9(x^{2}-2x+1)(x^{2}+2x+1)$

 

$9x^{2}(x^{2}+2x+1)+9x^{2}(x^{2}-2x+1)=10(x^{2}+2x+1)(x^{2}-2x+1)$

 

$9x^{4}+18x^{3}+9x^{2}+9x^{4}-18x^{3}+9x^{2}=10(x^{4}-2x^{3}+x^{2}+2x^{3}-4x^{2}+2x+x^{2}-2x+1)$

 

группируем

$(9x^{4}+9x^{4})+(18x^{3}-18x^{3})+(9x^{2}+9x^{2})=10(x^{4}+(-2x^{3}+2x^{3})+(x^{2}-4x^{2}+x^{2})+(2x-2x)+1)$

 

$18x^{4}+18x^{2}=10(x^{4}-2x^{2}+1)$

 

$18x^{4}+18x^{2}=10x^{4}-20x^{2}+10$

 

перенесём всё в левую часть и приравняем уравнение к нулю, при этом не забываем сменить знаки на противоположные

$18x^{4}+18x^{2}-10x^{4}+20x^{2}-10=0$

 

группируем

$(18x^{4}-10x^{4})+(18x^{2}+20x^{2})-10=0$

 

$8x^{4}+38x^{2}-10=0$

 

Произведём замену переменных.

Пусть $y=x^{2}$

 

В результате замены переменных получаем вспомогательное уравнение.

 

$8y^{2}+38y-10=0$

 

Cчитаем дискриминант:

 

$D=38^{2}-4cdot8cdot(-10)=1444+320=1764$

 

Дискриминант положительный

 

$sqrt{D}=42$

 

Уравнение имеет два различных корня:

 

$y_{1}=frac{-38+42}{2cdot8}=frac{4}{16}=frac{1}{4}=0,25$

 

$y_{2}=frac{-38-42}{2cdot8}=frac{-80}{16}=-5$

 

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1

 

$x^{2}=0,25$

 

$x_{1}=sqrt{0,25}=0,5$

 

$x_{2}=-sqrt{0,25}=-0,5$

 

Случай 2

 

$x^{2}=-5$

 

нет корней

 

Произведём проверку ОДЗ.

 

$left { {{0,5neq1} atop {0,5neq-1}} right$

 

удовлетворяет ОДЗ

 

$left { {{-0,5neq1} atop {-0,5neq-1}} right$

 

удовлетворяет ОДЗ

Ответ: $x_{1}=0,5$; $x_{2}=-0,5$