Question

В треугольной пирамиде ABCD найдите угол между прямой CD и прямой, соединяющей середины ребер BC и AD, если в основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник ABC с катетами AB=6, BC=8, а боковые ребра равны 13

Answer 1

Если катеты равны AB=6 и BC=8, то гипотенуза АС = 10.

Так как боковые ребра равны 13, то вершина пирамиды проецируется в середину гипотенузы.

Поместим пирамиду в систему координат: В - начало, ВА по оси Ох, ВС по оси Оу.

Середина ВС это точка К, середина АД - точка М.

Высота Н пирамиды равна:

Н = √13² - 5²) = √(169 - 25) = 12.

Находим координаты концов заданных отрезков.

К(0; 4; 0), М(4,5; 2;6).

С(0; 8; 0), Д(3;4; 12).

Векторы: CD = √((xD-xC)²+(yD-yC)²+(zD-zC)²)   = 3 -4 12 169 13

KM = √((xM-xK)²+(yM-yK)²+(zM-zK)²)   = 4,5 -2 6 60,25 7,762087348 .

Скалярное произведение векторов равно:

13,5       8 72 Скал_про = 93,5

cos α = 93,5/(13*√60.25) = 0,9266 .

Угол равен 0,3855 радиан или  22,09 градусов.