Question

Решить неравенство:
Cos2x + cosx ≥0

Answer 1

$\cos2x + \cos x \geq 0$

$2\cos^2x-1 + \cos x \geq 0$

$2\cos^2x + \cos x-1 \geq 0$

Решим соответствующее квадратное уравнение:

$2\cos^2x + \cos x-1 =0$

$D=1^2-4\cdot2\cdot(-1)=9$

$\cos x=\dfrac{-1-3}{2\cdot2} =-1$

$\cos x=\dfrac{-1+3}{2\cdot2} =\dfrac{1}{2}$

Дорешивая неравенство методом интервалов (картинка) получим:

$\cos x\in\left(-\infty;\ -1\right]\cup\left[\dfrac{1}{2};\ +\infty\right)$

Учитывая, что косинус не принимает значения, по модулю превышающие 1, получим:

$\cos x\in\left\{-1\right\}\cup\left[\dfrac{1}{2};\ 1\right]$

Рассматривая условие на числовой окружности (картинка), получим:

$x\in\{\pi+2\pi n\}\cup\left[-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n ;\ \dfrac{\pi}{3}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z}$