Question

Пусть x1 и x2 – корни многочлена x2 + px – 16 = 0. Не находя самих корней, вычислите

Answer 1

Приведем к общему знаменателю дроби, получим

х₁³/х₂+х₂³/х₁=(х₁⁴+х₂⁴)/(х₁*х₂)

По теореме Виета

х₁+х₂=-р

х₁*х₂=-16

Вспомним формулу бинома Ньютона (а+с)⁴=а⁴+4а³с+6а²с²+6ас³+с⁴

х₁⁴+х₂⁴=(х₁+х₂)⁴-4х₁³х₂-6х₁²х₂²-4х₁х₂³=р⁴-2х₁*х₂*(2х₁²+3х₁*х₂+2х₂²)=

р⁴-2*(-16)*((х₁+х₂)²+(х₁²+х₂²+х₁*х₂))=р⁴+32*(р²+р²-(-16))=р⁴+64р²+512

х₁³/х₂+х₂³/х₁=(р⁴+64р²+512)/(-16)=(-р⁴/16)-4р²-32