5. Докажите, что выражение -у^2 + 2y - 5 при любых зна-
чениях y принимает отрицательные значения.
Ответы
-у² + 2y - 5 =(-у²+2у-1)-4=-(у-1)²-4
-(у-1)²-4<0, т.к. -4<0; -(у-1)²≤0, и сумма отрицательного и неположительного равна отрицательному. Доказано.
Объяснение: для начала нужно узнать, есть ли хоть один y при котором это выражение равно нулю. Т.е. найдём дискриминант уравнения -y^2+2y-5=0
D=b^2-4ac=4-4*(-1)*(-5)=-16<0. Таким образом, это выражение никогда не равно нулю, что говорит о том, что это выражение либо всегда положительное, либо всегда отрицательное.
Можно взять любое значение у, чтобы убедиться что это выражение всегда отрицательно (если есть хоть один y при котором выражение отрицательное, оно уже никак не сможет быть всегда положительным). Можно также посмотреть на коэффициент перед y^2, который равен -1<0, что также доказывает, что парабола направлена вниз (всегда отрицаетльна)