Question

Дорога от станции до озера идет в гору, а затем под гору. Рыболов на подъем шел со скоростью на 2 км/час меньше, чем на спуске. Расстояние до озера рыбалов прошел за 1 час, на обратный путь затратил на 5 минут больше. Найти скорость на спуске и подъеме, есмли расстояние от станции до озера 5 км

Answer 1

1 ч. 5 мин.=13/12 ч.

Пусть х км/ч - скорость на подъёме, тогда скорость на спуске - (х+2) км/ч. Пусть у км - расстояние от станции до вершины горы, тогда расстояние от вершины горы до озера - (5-у) км. На дорогу от станции до озера рыболов затратил у/х + (5-у)/(х+2) или 1 час; на обратную дорогу - (5-у)/х + у/(х+2) или 13/12 часа. Составим и решим систему уравнений:

$left { {{frac{y}{x}+frac{5-y}{x+2}=1} atop {frac{5-y}{x}+frac{y}{x+2}=<var>frac{</var>13}{12}}} right$

$left { {{xy+2y+5x-xy=x(x+2)} atop {5x-xy+10-2y+xy=<var>frac{</var>13x(x+2)}{12}}} right$

$left { {{2y=x^2+2x-5x} atop {-2y=<var>frac{</var>13x^2}{12}+<var>frac{</var>13x}{6}-5x-10}} right$

$left { {{2y=x^2-3x} atop {-2y=<var>frac{</var>13x^2}{12}-<var>frac{</var>17x}{6}-10}} right$

Произведём подстановку:

$left { {{2y=x^2-3x} atop {-x^2+3x=<var>frac{</var>13x^2}{12}-<var>frac{</var>17x}{6}-10}} right$

$left { {{2y=x^2-3x} atop {<var>frac{</var>13x^2}{12}-<var>frac{</var>17x}{6}-10+x^2-3x=0}} right$

 $left { {{2y=x^2-3x} atop {<var>frac{</var>25x^2}{12}-<var>frac{</var>35x}{6}-10=0}} right$

Домножим второе уравнение на 12/25:

 $left { {{2y=x^2-3x} atop {x^2-2,8x-4,8=0}} right$

По теореме Виета корнями уравнения  $</var><var>x^{2}-2,8x-4,8=0$ являются 4 и -1,2. Так как скорость не может быть отрицательным числом, получаем, что скорость на подъёме была равна 4 км/ч, а на спуске 4+2=6 км/ч.

Путь от станции до вершины (4^2-3*4)/2=2 км, от вершины до озера 5-2=3 км.

Ответ: скорость на подъёме 4 км/ч, скорость на спуске 6 км/ч.