Question

В среднем 5% студентов факультета ИТ сдают экзамен по высшей математике на "отлично". Найти вероятность того, что из 100 наудачу выбранных студентов этого факультета сдадут экзамен по математике на "отлично":
а) два студента
б)не менее пяти студентов
(ответ округлить до тысячных)

Answer 1

Для больших n = 100 нужно применить локальную теорему Лапласа

p = 5%/100% = 0,05

q = 1 - p = 0,95

x = (k - np) / √[npq] ≈ -1,376

Вероятность того, что из 100 наудачу выбранных студентов этого факультета сдадут экзамен по математике на "отлично" два студента

$P=\dfrac{\varphi (x)}{\sqrt{npq}}=\dfrac{\varphi(-1{,}376)}{\sqrt{100\cdot 0{,}05\cdot 0{,}95}}\approx 0{,}071$

б) Здесь воспользуемся интегральной теоремой Лапласа

$x_1=\dfrac{k_1-np}{\sqrt{npq}}=\dfrac{5-100\cdot 0{,}05}{\sqrt{100\cdot 0{,}05\cdot 0{,}95}}=0\\ \\ x_2=\dfrac{k_2-np}{\sqrt{npq}}=\dfrac{100-100\cdot 0{,}05}{\sqrt{100\cdot 0{,}05\cdot 0{,}95}}\approx 43{,}59$

Вероятность того, что из 100 наудачу выбранных студентов этого факультета сдадут экзамен по математике на "отлично" не менее пяти студентов:

$P=\Phi(43{,}59)-\Phi(0)\approx 0{,}500$