Question

при каком значении параметра p система уравнений 
 x^2+y^2=1
 y+x^2=p 
имеет одно решение? 

Answer 1

$left{begin{array}{l} x^2+y^2=1 \ y+x^2=p end{array}$
Заметим, что в системе х встречается только во второй степени. Поэтому, если некоторая пара (х; у) - решение системы, то и пара (-х; у) - решение системы. Так как по заданию система должна иметь только одно решение, то необходимо выполнение условия х=-х. Это достигается только при х=0.
Подставляя значение х=0 в систему, получим:
$left{begin{array}{l} y^2=1 \ y=p end{array} Rightarrw left{begin{array}{l} y=1; y=-1 \ y=p end{array}$
Проверим, удовлетворяют ли значения р=1 и р=-1 условию.
При р=1:
$left{begin{array}{l} x^2+y^2=1 \ x^2+y=1 end{array}$
$y^2-y=0 \ y(y-1)=0 \ y=0Rightarrow x^2=1; x=pm1 \ y=1Rightarrow x^2=0; x=0$
Данный случай не подходит, так как система имеет три решения.
При р=-1:
$left{begin{array}{l} x^2+y^2=1 \ x^2+y=-1 end{array}$
$y^2-y=2 \ y^2-y-2=0 \ (y+1)(y-2)=0 \ y=-1Rightarrow x^2=0; x=0 \ y=2Rightarrow x^2 neq -3 textless 0$
Данный случай подходит, система действительно имеет одно решение.
Кроме того, можно было построить графики уравнений:
$x^2+y^2=1$ - окружность с центром в точке (0; 0) и радиусом 1
$y=-x^2+p$ - стандартная парабола ветвями вниз с вершиной в точке
(0; р). Двигая эту параболу вдоль оси ординат, можно убедиться, что единственное пересечение с окружностью происходит лишь при р=-1.
Ответ: р=-1