Question

Интеграл (a^x+b^x)^2 dx

Answer 1

$\int ({a}^{x} + {b}^{x})^{2} dx = \int {a}^{2x} + 2 {a}^{x} {b}^{x} + {b}^{2x} dx = \\ = \int {a}^{2x} dx + 2\int {a}^{x} {b}^{x} dx + \int {b}^{2x} dx$

Первая часть интеграла:

$\int {a}^{2x} dx = \int \frac{t}{2t ln(a) }dt = \frac{t}{2 ln(a) } = \frac{ {a}^{2x} }{2 ln(a) } \\ {a}^{2x} = t, \: dx = \frac{1}{2 {a}^{2x} ln(a) } dt$

Вторая часть интеграла:

$\int {a}^{x} {b}^{x} dx = \int(ab) {}^{x} dx = \frac{(ab) {}^{x} }{ ln(ab) }$

Третья часть интеграла:

$\int {b}^{2x} dx = \int \frac{t}{2t ln(b) }dt = \frac{t}{2 ln(b) } = \frac{ {b}^{2x} }{2 ln(b) } \\ {b}^{2x} = t, \: dx = \frac{1}{2 {b}^{2x} ln(b) } dt$

Собираем:

$\int( {a}^{x} + {b}^{x} ) {}^{2} dx = \frac{ {a}^{2x} }{2 ln(a) } + \frac{(ab) {}^{x} }{ ln(ab) } + \frac{ {b}^{2x} }{ 2ln(b) }$