Question

найдите интеграл от 0 до pi/2 (1/2 sin x/2+1/3 cos x/3) dx      и     интеграл от 1 до 4 (x^(2)+x корень из x+x/корень из x) dx

Answer 1

$\int limits_0^{frac{pi}{2}}{frac{1}{2}sin frac{x}{2} + frac{1}{3}cos frac{x}{3}}, dx=\ frac{1}{2}int limits_0^{frac{pi}{2}}{sin frac{x}{2}}, dx+frac{1}{3}int limits_0^{frac{pi}{2}}{cos frac{x}{3}}, dx=(*)\ t=frac{x}{2},u=frac{x}{3}\ dt=frac{1}{2},dx,du=frac{1}{3},dx\ frac{1}{2}int limits_0^{frac{pi}{2}}{2sin t}, dt+frac{1}{3}int limits_0^{frac{pi}{2}}{3cos u}, du=\ int limits_0^{frac{pi}{2}}{sin t}, dt+int limits_0^{frac{pi}{2}}{cos u}, du=\ Big[-cos tBig]_0^{frac{pi}{2}}+Big[sin uBig]_0^{frac{pi}{2}}=\ (*)=Big[-cos frac{x}{2}Big]_0^{frac{pi}{2}}+Big[sin frac{x}{3}Big]_0^{frac{pi}{2}}=\ -cos frac{pi}{4}-(-cos 0)+sin frac{pi}{6}-sin 0=\ -frac{sqrt2}{2}+1+frac{1}{2}=\ -frac{sqrt2}{2}+frac{3}{2}$

 

$\int limits_1^4 {x^2+sqrt x+frac{x}{sqrt x}}, dx=\ int limits_1^4 {x^2+sqrt x+sqrt x}, dx=\ int limits_1^4 {x^2+2sqrt x}, dx=\ Big[frac{x^3}{3}+2cdotfrac{2x^{frac{3}{2}}}{3}Big]_1^4=\ Big[frac{x^3}{3}+frac{4x^{frac{3}{2}}}{3}Big]_1^4=\ frac{4^3}{3}+frac{4cdot4^{frac{3}{2}}}{3}-(frac{1^3}{3}+frac{4cdot1^{frac{3}{2}}}{3})=\ frac{64}{3}+frac{4^{frac{5}{2}}}{3}-(frac{1}{3}+frac{4}{3})=\ frac{64}{3}+frac{2^{frac{10}{2}}}{3}-frac{5}{3}=\ frac{59}{3}+frac{32}{3}=\ frac{91}{3}$