Question

Розвяжіть рівняння:

1+6+11+...+x=342

Answer 1

$1 + 6 + 11 + ... + x = 342$

Легко побачити, що кожне число збільшується на 5 тому задаємо арифметичну прогресію з першим членом – 1 і різницею – 5:

$a_{1} = 1, \: d = 5$

Оскільки ми не знаємо порядковий номер х-а, запишемо йому номер n:

$a_{n} = x \\ a_{1} + d(n - 1) = x \\ x = 1 + 5(n - 1) \\ x = 1 + 5n - 5 \\ x = 5n - 4 \rightarrow a_{n} = 5n - 4$

У рівнянні маємо суму чисел послідовності.

Загальна формула суми арифметичної прогресії:

$S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} n$

Підставимо у формулу відомі нам складові:

$S_{n} = \frac{1 + 5n - 4}{2} n = \frac{5n - 3}{2} n$

За умовою дана сума дорівнює 342, тоді:

$\frac{5n - 3}{2} n = 342 \\ (5n - 3)n = 684 \\ 5 {n}^{2} - 3n - 684 = 0 \\ D = {3}^{2} + 4 \times 5 \times 684 = {117}^{2} \\ n_{1} = \frac{3 + 117}{10} = 12 \\ n_{2} = \frac{3 - 117}{10} = - \frac{57}{5}$

Оскільки n – порядковий номер члена прогресії, він не може бути від'ємний тому n ≠ -57/5 => n = 12.

Так як ми знаємо n, ми можемо знайти x:

$x = 5n - 4 \\ x = 5 \times 12 - 4 \\ x = 56$

Відповідь: 56