Question

Боковое ребро правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равно 8 см и наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов. Найдите сторону большего основания, если диагональ пирамиды равна 4 корней из пяти (нужно начертить полную пирамиду, усечь её, провести диагональ, которая будет равна 4 корней из 5). Решите, пожалуйста!! За решение даю 31 балл.
С чертежом!!

Answer 1

Дано:

$ABCDA_1B_1C_1D_1 -$ Правильная усеченная пирамида

$AA_1=8cm$ (ребро)

$A_1C=4\sqrt{5}$ (диагональ)

Найти: $AB-?$

Решение:

1) Проведём две высоты к плоскости ABCD из вершин $A_1$ и $C_1$  И отметим их как $H$ и $H_1$ соответственно.

2)Рассмотрим полученный треугольник $AHA_1$; По чертежу видно, что этот треугольник прямоугольный и один из его острых углов равен 60 градусов, что означает что второй его угол равен 30 градусам, следовательно если нам известна $AA_1$, то можно и найти $AH$

$AH=\frac{1}{2}AA_1=\frac{8}{2}=4$ (Против угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы).

3)Поскольку пирамида правильная, то высоты, которые были проведены в 1 пункте делят диагональ квадрата ABCD на 3 отрезка, причем $AH=H_1C=4$

4) Используя правило прямоугольного треугольника, при двух его известных сторонах и углу, можно найти другую сторону этого треугольника: $A_1H=AA_1*Sin60=8*\frac{\sqrt{3} }{2}=4\sqrt{3}$

5)Следует детально рассмотреть треугольник $CHA_1$ В нем известны две стороны, и он прямоугольный, а значит можно найти $CH$ по теореме Пифагора. $CH=\sqrt{A_1C^{2} -A_1H_2} =\sqrt{ 80-48}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$.

6)Отсюда можно найти $AC$.

$AC=4+4\sqrt{2}$. Знаю эту величину можем найти искомую АB.

Поскольку в основании правильной усеченной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. $AB=\sqrt{AC^{2} -BC^{2} }$; Но также стоит заметить, что $AB\sqrt{2}=AC$, но второй способ намного легче, чем мучиться с преобразованием корневых выражений. $AB\sqrt{2}=4+4\sqrt{2} \\AB=\frac{4(1+\sqrt{2} )}{\sqrt{2} } =\frac{4\sqrt{2}+ 8}{2} =2\sqrt{2}+4$

Ответ: AB= двум корней из двух плюс 4