Question

y''+7y' = 3e^2x помогите решить, вроде диф уравнение это

и если сможете решите 3 задачу​

Answer 1

$2)\; \; \; y''+7y'=3e^{2x}\\\\a)\; \; k^2+7k=0\; \; ,\; \; k(k+7)=0\; \; ,\; \; k_1=0\; ,\; k_2=-7\\\\y_{oo}=C_1+C_2\cdot e^{-7x}\\\\b)\; \; f(x)=3e^{2x}\; \; \to \; \; \alpha =2\ne 0\ne -7\; \; \to \; \; r=0\\\\y_{chastn.}=Ae^{2x}\cdot x^0=Ae^{2x}\\\\y'=2Ae^{2x}\\\\y''=4Ae^{2x}\\\\y''+7y'=4Ae^{2x}+14Ae^{2x}=3e^{2x}\; \; ,\qquad 18Ae^{2a}=3e^{2x}\\\\18A=3\; \; \to \; \; A=\frac{1}{6}\\\\y_{chastn.}=\frac{1}{6}\cdot e^{2x}\\\\c)\; \; y_{on}=C_1+C_2e^{-7x}+\frac{1}{6}\cdot e^{2x}$

$3)\int \limits _0^1\, dx\; \int\limits^{x^2}_0\, dy\; \int\limits^{y}_0\, (x-2z)\,dz=\int\limits^1_0\, dx\; \int\limits^{x^2}_0\, dy\; \Big(xz-\frac{2z^2}{2}\Big)\Big|_0^{y}=\\\\=\int\limits^1_0\, dx\; \int\limits^{x^2}_0\, dy\; \Big (xy-y^2\Big)=\int\limits^1_0\, dx\; \int\limits^{x^2}_0\, \Big (xy-y^2\Big)\, dy=\\\\=\int\limits^1_0\, dx\; \Big(x\cdot \frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}\Big)\Big|_0^{x^2}=\int\limits^1_0\, \Big(\frac{x^5}{2}-\frac{x^6}{3}\Big)\, dx=\Big(\frac{x^6}{12}-\frac{x^7}{21}\Big)\Big|_0^1=$

$=\frac{1}{12}-\frac{1}{21}=\frac{1}{28}$