Question

Помогите ,пожалуйста, вычислить интеграл. Нужно полное решение

Answer 1

Ответ: $\frac{\sqrt{5}+1 }{3}$

Пошаговое объяснение:

$\int {\frac{x-1}{\sqrt{2x-1}}dx }=\int{\frac{x}{\sqrt{2x-1}}dx}-\int{\frac{1}{\sqrt{2x-1}}dx}$

Первый интеграл:

$\int{\frac{x}{\sqrt{2x-1}}dx}\\\\t=2x-1\\\\2x=t+1\\\\x=\frac{t+1}{2}\\\\ dx=\frac{1}{2} dt\\\\\int{\frac{x}{\sqrt{2x-1}}dx}=\int {\frac{(\frac{t+1}{2} )(\frac{1}{2} dt)}{\sqrt{t} } }=\int {\frac{t+1}{4\sqrt{t} } dt}=\int {\frac{t}{4\sqrt{t} } dt}+\int {\frac{1}{4\sqrt{t} } dt}=\\\\\frac{1}{4} \int {t^{\frac{1}{2} }dt}+\frac{1}{4}\int {t^{-\frac{1}{2} }dt}=\frac{t^{\frac{3}{2} }}{6} +\frac{\sqrt{t} }{2} +C=\frac{(2x-1)^{\frac{3}{2} }}{6} +\frac{\sqrt{2x-1} }{2} +C$

Второй интеграл решается аналогичной заменой $t=2x-1$:

$\int{\frac{1}{\sqrt{2x-1}}dx}=\int{\frac{dt}{2\sqrt{t} } }=\frac{1}{2} \int {t^{-\frac{1}{2} }dt}=\sqrt{t} +C=\sqrt{2x-1} +C$

Итак,

$\int {\frac{x-1}{\sqrt{2x-1}}dx }=\int{\frac{x}{\sqrt{2x-1}}dx}-\int{\frac{1}{\sqrt{2x-1}}dx}=\frac{(2x-1)^{\frac{3}{2} }}{6} +\frac{\sqrt{2x-1} }{2} -\sqrt{2x-1}+C$

Вычислим определенный интеграл:

$\left[ \frac{(2x-1)^{\frac{3}{2} }}{6} +\frac{\sqrt{2x-1} }{2} -\sqrt{2x-1}\right]\bigg| \limits^3_1=\left[ \frac{(2\cdot 3-1)^{\frac{3}{2} }}{6} +\frac{\sqrt{2\cdot 3-1} }{2} -\sqrt{2\cdot 3-1}\right]-\\\\\left[ \frac{(2\cdot 1-1)^{\frac{3}{2} }}{6} +\frac{\sqrt{2\cdot 1-1} }{2} -\sqrt{2\cdot 1-1}\right]=\left[ \frac{5\sqrt{5} }{6} +\frac{\sqrt{5} }{2} -\sqrt{5} \right]-\left[ \frac{1 }{6} +\frac{1 }{2} -1 \right]=\frac{\sqrt{5}}{3} +\frac{1}{3} =\frac{\sqrt{5}+1 }{3}$