Question

ВЫШ МАТ . Решить 2 примера из одной колонки и из второй. Дифиренциальные уравнения. Даю 100!

Answer 1

$1.1)\; \; y'-\frac{y}{x}=3x\\\\y=uv\; \; ,\; \; y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'-\frac{uv}{x}=3x\\\\u'v+u\cdot (v'-\frac{v}{x})=3x\\\\a)\; \; v'-\frac{v}{x}=0\; \; ,\; \; \frac{dv}{dx}=\frac{v}{x}\; \; ,\; \; \int \frac{dv}{v}=\int \frac{dx}{x}\; \; ,\; \; ln|v|=ln|x|\; \; ,\; \; v=x\\\\b)\; \; u'v=3x\; \; ,\; \; \frac{du}{dx}\cdot x=3x\; \; ,\; \; \int du=\int 3\, dx\; ,\; \; u=3x+C\\\\c)\; \; y=uv=x\cdot (3x+C)$

$1.5)\; \; (x^2+1)y'-xy=x^3+x\; \; \to \; \; \; \; y'-\frac{x}{x^2+1}\cdot y=\frac{x^3+x}{x^2+1}\\\\y=uv\; \; ,\; \; y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'-\frac{x}{x^2+1}\cdot uv=\frac{x(x^2+1)}{x^2+1}\\\\u'v+u\cdot (v'-\frac{x}{x^2+1}\cdot v)=x\\\\a)\; \; \frac{dv}{dx}=\frac{x}{x^2+1}\cdot v\; \; ,\; \; \int \frac{dv}{v}=\frac{1}{2}\int \frac{2x\, dx}{x^2+1}\; \; ,\; \; ln|v|=\frac{1}{2}\cdot ln(x^2+1)\; \; ,\; \; v=\sqrt{x^2+1}$

$b)\; \; \frac{du}{dx}\cdot \sqrt{x^2+1}=x\; \; ,\; \; \int du=\frac{1}{2}\int \frac{2x\, dx}{\sqrt{x^2+1}}\; \; ,\; \; u=\frac{1}{2}\cdot 2 \sqrt{x^2+1}+C=\sqrt{x^2+1}+C\\\\c)\; \; y=\sqrt{x^2+1}\cdot (\sqrt{x^2+1}+C)\\\\y=x^2+1+C\sqrt{x^2+1}$

$2.1)\; \; y'+3y=xe^{-3x}\; \; ,\; \; y(0)=0\\\\y=uv\; \; ,\; \; y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'+3uv=xe^{-3x}\\\\u'v+u\cdot (v'+3v)=xe^{-3x}\\\\a)\; \; \frac{dv}{dx}=-3v\; \; ,\; \; \int \frac{dv}{v}=-3\int dx\; \; ,\; \; ln|v|=-3x\; ,\; \; v=e^{-3x}\\\\b)\; \; \frac{du}{dx}\cdot e^{-3x}=xe^{-3x}\; \; ,\; \; \int du=\int x\, dx\; \; ,\; \; u=\frac{x^2}{2}+C\\\\c)\; \; y=e^{-3x}\cdot (\frac{x^2}{2}+C)\\\\d)\; \; y(0)=e^0\cdot (0+C)=1\cdot C=0\; \; \to \quad C=0\\\\y=e^{-3x}\cdot \frac{x^2}{2}$

$2.4)\; \; (1-x^2)\cdot y'-2xy=(1-x^2)^2\; \; ,\; \; y(3)=40\\\\y'-\frac{2x}{1-x^2}\cdot y=\frac{(1-x^2)^2}{1-x^2}\\\\y=uv\; \; ,\; \; y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'-\frac{2x}{1-x^2}\cdot uv=1-x^2\\\\u'v+u\cdot (v'-\frac{2x}{1-x^2}\cdot v)=1-x^2\\\\a)\; \; \frac{dv}{dx}=\frac{2xv}{1-x^2}\; \; ,\; \; \int \frac{dv}{v}=-\int \frac{-2x\, dx}{1-x^2}\; \; ,\; \; ln|v|=-ln|1-x^2|\\\\v=\frac{1}{1-x^2}\\\\b)\; \; \frac{du}{dx}\cdot \frac{1}{1-x^2}=1-x^2\; \; ,\; \; \int du=\int (1-x^2)^2\, dx\; \; ,$

$\int du=\int (1-2x^2+x^4)\, dx\; \; ,\; \; u=x-\frac{2x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+C\\\\c)\; \; y=\frac{1}{1-x^2}\cdot (x-\frac{2x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+C)\\\\d)\; \; y(3)=\frac{1}{1-9}\cdot (3-18+\frac{32}{5}+C)=40\\\\-\frac{1}{8}\cdot (-\frac{43}{5}+C)=40\; \; ,\; \; -\frac{43}{5}+C=-320\; \; ,\; \; C=-311,4\\\\y=\frac{1}{1-x^2}\cdot (x-\frac{2x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-311,4)$