Question

Можно с решением Пожалуйста

Решить задачи:
1). Найти координаты вектора, если его началом является точка А
(−3 ; 2 ;−1), а концом точка М(−1 ;6 ;5).
2). В треугольнике АВС вершины заданы координатами: А(0 ;−1 ; 2)
, В(−6 ;2 ;−9), С(4 ;−10 ;3). Найти координаты точки М, если АМ –
медиана треугольника АВС.
3). Координаты вершин треугольника АВС равны А(4 ;−1 ;1), В
(0 ;2 :−3), С(4 ;−2 ; 0). Найти длину стороны АС.
4). Вычислить скалярное произведение векторов, координаты
которых {−10 ; 3 ;−2 } и {6 ;−5 ;0,5 }.
5). Найти координаты вектора, равного сумме векторов, имеющих
координаты {12 ;−2 ;−1 } и {−7 ;8 ;3 }.
6). Найти косинус угла между векторами заданными координатами
{3 ;−4 ;0 } и {−6 ;0 ;8 }.
7). Вычислить скалярный квадрат вектора заданного координатами
{15 ;0 ;−8 }.
8). Определить какой угол (острый, прямой или тупой) между
векторами, заданными координатами {−2 ;−0,5 ;−1 } и {6 ;−4 ;3 }.
9). Доказать, что векторы, заданные координатами {2 ;−7 ;−3 } и
{−14 ;−4 ;0 } перпендикулярны.
10). Найти координаты вектора, равного разности векторов,
имеющих координаты {−7 ;5 ;2 } и {1 ;−8 ;0 }.
11). Найти величину угла между векторами заданными
координатами {0 ;4 ;8 } и {−7 ;−6 ;3 }.
12). Найти сумму длин векторов, координаты которых {2 ;−2 ;1 } и
{3 ;0 ;−4 }.
13). Найти периметр треугольника АМВ, если М(0 ;−6 ;2), В(−4 ;5 ;1), а А(−1 ; 2 ;2).
14). Вектор с координатами {−2 ;1 ;6 } увеличили в 3 раза и сложили
с вектором, имеющим координаты {0 ;−4 ; 2 }. Найти координаты
получившегося в результате вектора.
15). Найти расстояние между точками А и М, если М – середина
отрезка АЕ, А(5 ;−3 ;1 ), Е(−2 ;7 ;3 ).

Answer 1

Ответ:

равенство.Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем:

A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения:

A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;

A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему уравнений:Система уравнений Получили, что уравнение плоскости имеет вид: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.Задача. Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости.Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4) — вот и все!Вычисление координат векторовА что, если в задаче нет векторов — есть только точки, лежащие на прямых, и требуется вычислить угол между этими прямыми? Все просто: зная координаты точек — начала и конца вектора — можно вычислить координаты самого вектора.Чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты начала.Эта теорема одинаково работает и на плоскости, и в пространстве. Выражение «вычесть координаты» означает, что из координаты x одной точки вычитается координата x другой, затем то же самое надо сделать с координатами y и z. Вот несколько примеров:Задача. В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов AB, AC и BC.Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A, а конец — в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A:

AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A, зато конец — точка C. Поэтому имеем:

AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B:

BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)Обратите внимание на вычисление координат последнего вектора BC: очень многие ошибаются, когда работают с отрицательными числами. Это касается переменной y: у точки B координата y = − 1, а у точки C y = 3. Получаем именно 3 − (− 1) = 4, а не 3 − 1, как многие считают. Не допускайте таких глупых ошибок!Вычисление направляющих векторов для прямыхЕсли вы внимательно прочитаете задачу C2, то с удивлением обнаружите, что никаких векторов там нет. Там только прямые да плоскости.Для начала разберемся с прямыми. Здесь все просто: на любой прямой найдутся хотя бы две различные точки и, наоборот, любые две различные точки задают единственную прямую...Кто-нибудь понял, что написано в предыдущем абзаце? Я и сам не понял, поэтому объясню проще: в задаче C2 прямые всегда задаются парой точек. Если ввести систему координат и рассмотреть вектор с началом и концом в этих точках, получим так называемый направляющий вектор для прямой: