Question

Задание. Найти общее решение (интеграл) однородного дифференциального уравнения (ДУ) первого порядка: 3xy'=2y+9x

Answer 1

$\displaystyle 3xy'=2y+9x\\y=tx;y'=t'x+t\\3x(t'x+t)=2tx+9x|:x\\3t'x+3t=2t+9\\3x\frac{dt}{dx}=-t+9|*\frac{dx}{x(9-t)}\\\frac{dx}{x}=\frac{3dt}{9-t}\\\int\frac{dx}{x}=3\int\frac{dt}{9-t}\\\int\frac{dx}{x}=-3\int\frac{d(9-t)}{9-t}\\ln|x|=-3ln|9-t|+C\\ln|x|=-3ln|9-\frac{y}{x}|+ln|C|\\1=\frac{Cx^2}{(9x-y)^3}\\\frac{(9x-y)^3}{x^2}=C$