Question

Очень срочно! Помогите пожалуйста вычислить интеграл:
где a=$\pi$ , b=$-\pi$
$\int\limits^a_b {e^{ix} \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} ie^{ix}} \, dx$

Answer 1

$\int\limits_{-\pi}^{\pi}e^{ix}\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}ie^{ix}dx=\int\limits_{-\pi}^{\pi}e^{ix}\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}d(e^{ix})=\int\limits_{-\pi}^{\pi}\dfrac{e^{2ix}}{2}d(e^{ix})+\int\limits_{-\pi}^{\pi}\dfrac{1}{2}d(e^{ix})=\\ =(\dfrac{e^{3ix}}{6}+\dfrac{e^{ix}}{2})| \limits_{-\pi}^{\pi}=(\dfrac{e^{3i\pi}}{6}+\dfrac{e^{i\pi}}{2})-(\dfrac{e^{-3i\pi}}{6}+\dfrac{e^{-i\pi}}{2})=(\dfrac{-1}{6}+\dfrac{-1}{2})-(\dfrac{-1}{6}+\dfrac{-1}{2})=0$