Question

Решите уравнение.

$\displaystyle \sqrt{x+4\sqrt{x+1}+5 }+\sqrt{18+6\sqrt{9-x}-x }=9$

Answer 1

$\sqrt{x+4\sqrt{x+1}+5 }+\sqrt{18+6\sqrt{9-x}-x }=9$

Запишем в явном виде под каждым из корней квадрат суммы:

$\sqrt{4+2\cdot2\sqrt{x+1}+x+1}+\sqrt{9+2\cdot3\sqrt{9-x}+9-x }=9$

$\sqrt{2^2+2\cdot2\sqrt{x+1}+\left(\sqrt{x+1}\right)^2}+\sqrt{3^2+2\cdot3\sqrt{9-x}+\left(\sqrt{9-x}\right)^2 }=9$

$\sqrt{\left(2+\sqrt{x+1}\right)^2}+\sqrt{\left(3+\sqrt{9-x}\right)^2 }=9$

$\left|2+\sqrt{x+1}\right|+\left|3+\sqrt{9-x}\right| =9$

Поскольку корень дает неотрицательное значение, то под каждым из знаков моделей стоит положительное число, а значит раскрывается модуль без смены знака:

$2+\sqrt{x+1}+3+\sqrt{9-x} =9$

$\sqrt{x+1}+\sqrt{9-x} =4$

ОДЗ: $\begin{cases} x+1\geq0 \\ 9-x\geq0 \end{cases}\Righrarrow x\in[-1;\ 9]$

Возведем обе части в квадрат:

$x+1+9-x+2\sqrt{x+1}\sqrt{9-x} =16$

$10+2\sqrt{(x+1)(9-x)} =16$

$2\sqrt{(x+1)(9-x)} =6$

$\sqrt{(x+1)(9-x)} =3$

Еще раз возведем в квадрат:

$(x+1)(9-x) =9$

$9x-x^2+9-x=9$

$8x-x^2=0$

$x(8-x)=0$

$\left[\begin{array}{l} x_1=0 \\ x_2=8 \end{array}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 0 и 8