Question

Решить дифференциальные уравнения:
а) y'=-1/3y
б) y'=xy
в)yy'=x+1
г)y'=2√x

Answer 1

$1)\; \; y'=-\frac{1}{3}y\; \; ,\; \; \; \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{3}\; \; ,\; \; \; \int \frac{dy}{y}=-\int \frac{dx}{3} \; ,\\\\ln|y|=-\frac{x}{3}+C\; \; ,\; \; |y|=e^{-\frac{x}{3}+C}\; \; ,\; \; y=\pm e^{-\frac{x}{3}+C}$

$2)\; \; y'=xy\; \; ,\; \; \frac{dy}{dx}=xy\; \; ,\; \; \int \frac{dy}{y}=\int x\, dx\; \; ,\; \; ln|y|=\frac{x^2}{2}+C\; ,\\\\|y|=e^{\frac{x^2}{2}+C}\; \; ,\; \; y=\pm e^{\frac{x^2}{2}+C}$

$3)\; \; yy'=x+1\; \; ,\; \; y\cdot \frac{dy}{dx}=x+1\; \; ,\; \; \int y\, dy=\int (x+1)dx\; ,\\\\\frac{y^2}{2}=\frac{(x+1)^2}{2}+\frac{C}{2}\; \; ,\; \; \; y^2=(x+1)^2+C\; ,\; \; y=\pm ((x+1)^2+C)$

$4)\; \; y'=2\sqrt{x}\; \; ,\; \; \frac{dy}{dx}=2\sqrt{x}\; \; ,\; \; \int dy=2\int \sqrt{x}\, dx\; \; ,\; \; y=2\cdot \frac{x^{3/2}}{3/2}+C\; ,\\\\y=\frac{4}{3}\cdot \sqrt{x^3}+C$