Question

помогите пожалуйста разобраться​

Answer 1

Для тригонометрического уравнения вида $a\sin x + b \cos x = c$ существует метод вспомогательного угла.

Данное уравнение равносильно $\sin (x + \varphi) = \dfrac{c}{r}$, где $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}, \ \varphi = \arcsin \dfrac{a}{r}$

Решим уравнение $4\sin x + 17\cos x = \sqrt{305}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{4^{2} + 17^{2}}$:

$\dfrac{4}{\sqrt{4^{2} + 17^{2}}} \sin x + \dfrac{17}{\sqrt{4^{2} + 17^{2}}} \cos x = \dfrac{\sqrt{305}}{\sqrt{4^{2} + 17^{2}}}$

$\dfrac{4}{\sqrt{305}} \sin x + \dfrac{17}{\sqrt{305}} \cos x = \dfrac{\sqrt{305}}{\sqrt{305}}$

$\cos \left(\arccos \dfrac{4}{\sqrt{305}} \right) \sin x + \sin \left(\arcsin \dfrac{17}{\sqrt{305}} \right) \cos x = 1$

Согласно $\arcsin \alpha + \arccos \alpha = \dfrac{\pi}{2}$, имеем:

$\cos \left(\dfrac{\pi}{2} - \arcsin \dfrac{4}{\sqrt{305}} \right) \sin x + \sin \left(\arcsin \dfrac{17}{\sqrt{305}} \right) \cos x = 1$

$\cos \left(\arcsin 1 - \arcsin \dfrac{4}{\sqrt{305}} \right) \sin x + \sin \left(\arcsin \dfrac{17}{\sqrt{305}} \right) \cos x = 1$

$\cos \left(\arcsin \dfrac{17}{\sqrt{305}} \right) \sin x + \sin \left(\arcsin \dfrac{17}{\sqrt{305}} \right) \cos x = 1$

Согласно $\cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta = \sin (\alpha + \beta )$, имеем:

$\sin \left(x + \arcsin \dfrac{17}{\sqrt{305}} \right) = 1$

$x + \arcsin \dfrac{17}{\sqrt{305}} = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z}$

$x =- \arcsin \dfrac{17}{\sqrt{305}} + \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x =- \arcsin \dfrac{17}{\sqrt{305}} + \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z}$