Question

2sin^2(x^2)+3cos(x^2)=0 помогите решить ​

Answer 1

Відповідь:x=$\sqrt[2]{\frac{2\pi }{3} } +\sqrt[2]{2\pi n } ,n$∈ Z

Покрокове пояснення:

$sin^{2} (x^{2} )=1-cos^{2} (x^{2} )$

Имеем:

$2-2cos^{2} (x^{2} )+3cos(x^{2} )=0\\2cos^{2} (x^{2} )-3cos(x^{2} )-2=0$

Обозначим: $t=cos(x^{2} )$

Имеем:

$2t^{2} -3t-2=0\\D=9+4*2*2=25\\\t_{1}=\frac{3+5}{4} =2\\\t_{2} =\frac{3-5}{4} =-\frac{1}{2}$

2 нам не подходит, так как cos(x)∈[-1;1]

Тогда:

$cos(x^{2} )=-\frac{1}{2} \\x^{2} =arccos(-\frac{1}{2} )+2\pi n, n$∈ Z

$x^{2} =\frac{2\pi }{3} +2\pi n\\x=\sqrt[2]{\frac{2\pi }3} } } +\sqrt[2]{2\pi n }$

Answer 2

2sin^2(x^2)+3cos(x^2)=0

------

sin^2 x + cos^2 x = 1

sin x, cos x ∈ [-1, 1]

cos x = a

|a| <=1   x = +- arccos(a) + 2πk  k∈Z

2(1 - cos^2(x^2))+3cos(x^2)=0

2cos^2(x^2)) - 3cos(x^2)- 2  =0

cos(x^2) = t ∈ [-1, 1]

2t^2 - 3t - 2 = 0

D = 9 + 16 = 25

t12 = (3 +- 5)/4 = 2   -1/2

t=2  нет > 1

t = -1/2

cos(x^2) = -1/2

x^2 = arccos(-1/2) + 2πk  k∈Z

x^2 = +- 2π/3 + 2πk  k∈Z

а теперь ищем нужные корни

x₁ = +-√(2π/3 + 2πk)  k∈Z и k>=0

x₂ = +-√(-2π/3 + 2πn)  n∈Z n>0