Question

Построй график функции y=(x4−29⋅x2+100)(x−5)⋅(x+2) и определи значения c, при которых прямая y=c имеет с графиком одну общую точку. Если значений несколько, укажи их в порядке возрастания через точку с запятой без пробелов (например: 1;2;3)​

Answer 1

Ответ:

-12,25;-12;30

Пошаговое объяснение:

$y=\frac{x^4-29x^2+100}{(x-5)(x+2)} =\frac{(x^2-4)(x^2-25)}{(x-5)(x+2)} =\frac{(x-2)(x+2)(x-5)(x+5)}{(x+2)(x-5)} =\frac{(x^2+3x-10)(x+2)(x-5)}{(x+2)(x-5)}$

А вот дальше тонкий момент. Если бы нас просили упростить, то можно было бы сократить скобки (x+2)(x-5), и осталось бы квадратное выражение.

Но у нас функция, в которой изначально эти две скобки стоят в знаменателе. Значит, по области определения, x ≠ -2 и x ≠ 5.

Это так называемые устранимые разрывы.

То есть графиком будет парабола y = x^2 + 3x - 10 с двумя выколотыми точками: x = -2; y = (-2)^2 + 3(-2) - 10 = -12 и x = 5; y = 5^2 + 3*5 - 10 = 30.

Значит, по 1 точке пересечения будут иметь прямые y = -12 и y = 30.

Они пересекаются с графиком в точках

x = -1; y = (-1)^2 + 3(-1) - 10 = -12 и x = -8; y = (-8)^2 + 3(-8) - 10 = 30.

Кроме того, у параболы еще есть вершина:

x0 = -b/(2a) = -3/2 = -1,5; y0 = (-1,5)^2 + 3(-1,5) - 10 = -12,25.

Значит, прямая y = -12,25 тоже имеет 1 точку пересечения с графиком.

Примерный график я нарисовал, но вы в тетради по клеточкам нарисуете лучше.