Question

1)Даны координаты трех вершин параллелограмма ABCD:А(-6;-4;0),В(6;-6;2),С(10;0;4). Найдите координаты точки D и угол между векторами AC и BD.
2)Даны координаты вершин тетраэдра  MABC: М(2;5;7), А(1;-3;2),В(2;3;7), C(3;6;0). Найдите расстояние от точки М до точки О пересечения медиан треугольника АВС.

Answer 1

Пусть координаты точки $D(x;y)$  , так как это параллелограмм ,  то у нее противоположенные стороны равны, иными словами BC=AD .  Тогда 
$BC=sqrt{(10-6)^2+(0+6)^2+(4-2)^2}\ AD=sqrt{(x+6)^2+(y+4)^2+z^2}\ \ x=-2\ y=2\ z=2\ \ D(-2;2;2)$
Тогда угол между векторами АС и BD, рассмотрим векторы АС и BD, они имеют координаты 
$AC(16;4;4)\ BD(-8;8;0)$
по формуле скалярного произведения векторов получаем 
$cosa=frac{-128+32}{sqrt{16^2+4^2+4^2}sqrt{8^2+8^2+0^2}}=-frac{1}{2}\ a=120а$
Ответ к первой задачи координаты точки     D(-2;2;2)   a=120 гр 

2)
точка пересечения медиан - это среднее арифметическое всех точек , взятыъ по координатам соответственно 
$O(frac{1+2+3}{3};frac{-3+3+6}{3};frac{2+7+0}{3}) = ( 2;2;3)\ OM=sqrt{(2-2)^2+(2-5)^2+(3-7)^2} =sqrt{9+16} = 5$