Question

Помогите решить интеграл, оооочень срочно
$\int\limits\,\frac{dx}{5cosx+10sinx}$

Answer 1

$\int \frac{dx}{5 \cos(x) + 10 \sin(x) } = \frac{1}{5} \int \frac{dx}{2 \sin(x) + \cos(x)} = \\ = \frac{1}{5} \int \frac{1}{ \sqrt{5} \sin(x + \arctg \frac{1}{2} ) } dx = \frac{ \sqrt{5} }{25} \int \frac{1}{ \sin(x + \arctg \frac{1}{2} ) } dx = \\ x + \:arctg \frac{1}{2} = t, \: dx = dt \\ = \frac{ \sqrt{5} }{25} \int \frac{1}{ \sin(t) } \times \frac{ \sin(t) }{ \sin(t) } dt = \frac{ \sqrt{5} }{25} \int \frac{ \sin(t) }{ \sin^{2} (t) } dt = \frac{ \sqrt{5} }{25} \int \frac{ \sin(t) }{1 - \cos^{2} (t) } dt = \\ \cos(t) = u, \: dt = - \frac{1}{ \sin(t) } du \\ = - \frac{ \sqrt{5} }{25} \int \frac{1}{1 - {u}^{2} } du = \frac{ \sqrt{5} }{25} \int \frac{1}{ {u}^{2} - 1} du = \frac{ \sqrt{5} }{25} \times \frac{1}{2} ln( | \frac{u - 1}{u + 1} | ) = \\ = \frac{ \sqrt{5} }{50} ln( | \frac{ \cos(t) - 1 }{ \cos(t) + 1 } | ) = \frac{ \sqrt{5} }{50} ln( | - \tan^{2} ( \frac{t}{2} )| ) = \frac{ \sqrt{5} }{25} ln( \tan( \frac{t}{2} ) ) = \\ = \frac{ \sqrt{5} }{25} ln( \tan( \frac{x + \arctg \frac{1}{2} }{2} ) ) + С$