Question

Найдите минимальное значение выражения x^100-10x^50+100

Answer 1

Дана функция:

$y = {x}^{100} - 10 {x}^{50} + 100$

Найдём её производную:

$y' = ( {x}^{100} - 10 {x}^{50} + 100)' = \\ = 100 {x}^{99} - 500 {x}^{49}$

Приравниваем производную к нулю:

$100 {x}^{99} - 500 {x}^{49} = 0 \\ {x}^{99} - 5 {x}^{49} = 0 \\ {x}^{49} ( {x}^{50} - 5) = 0 \\ x = 0 \\ {x}^{50} = 5 \\ x = 0 \\ x = ± \sqrt[50]{5}$

Мы получили 3 точки возможного экстремума, причём

$- \sqrt[50]{5} < 0 < \sqrt[50]{5}$

Разместим данные точки на координатной оси и найдём интервалы, где производная положительна/отрицательна что поможет нам найти где функция возрастает/убывает (рисунок приложен)

Исходя из рисунка получили 2 точки минимума:

$- \sqrt[50]{5} \: \: и \: \: \sqrt[50]{5}$

Это и есть ответ.