Question

Высшая математика. Интеграл

Answer 1

Ответ: (e-1)/3

Пошаговое объяснение:

Найдём неопределённый интеграл функции e^(x^3)*x^2 чтобы использовать фундаментальную теорему исчисления.

                                            $\int{e^{x^{3} }x^2 } \, dx$.

Пусть $u=x^3$, тогда $x=\sqrt[3]{u}$.

                              $du = 3x^2dx \\ dx = \frac{du}{3x^2} = \frac{du}{3(\sqrt[3]{u} )^{2}} = \frac{du}{3u^{2/3}}$

Делаем подстановку в наше изначальное выражение:

                                      $\int{e^{x^{3}}x^2dx}=\int{e^{u}(\sqrt[3]{u})^{2}\frac{du}{3u^{2/3}} } = \int{ e^uu^{2/3}\frac{du}{3u^{2/3}} }$

Здесь $u^{2/3}$ сокращаются и мы имеем $\int{e^u\frac{du}{3}}$. Выносим $\frac{1}{3}$ за интеграл: $\frac{1}{3} \int{e^u} \, du$. Теперь мы имеем знакомый интеграл, который равняется $\frac{1}{3} (e^{u}+C)$, тоже самое что $\frac{1}{3} e^u+C$. Подставляем $u=x^3$ и имеем $\frac{1}{3}e^{x^3}+C$. Используем фундаментальную теорему исчисления:

$\int\limits^1_0 {e^{x^3} x^2} = \frac{1}{3} e^{x^3}]_0^1=\frac{1}{3} e^{1^3}-\frac{1}{3} e^{0^3}=\frac{1}{3} e^1-\frac{1}{3} e^0=\frac{1}{3} e-\frac{1}{3}=\frac{e-1}{3}$