Question

помогите решить срочно!​

Answer 1

$\dfrac{1+2+2^2+\cdots+2^9}{1+2+2^2+\cdots+2^4}$

В числителе и знаменателе стоит сумма конечной геометрической прогрессии с первым членом a = 1, знаменателем q = 2 и количеством членов n = 10 для числителя и 5 для знаменателя.

Формула для суммы геометрической прогрессии:

$S_n=a\dfrac{q^n-1}{q-1}$

Знаменатель равен

$S_5=1\cdot\dfrac{2^5-1}{2-1}=2^5-1$

Числитель равен

$S_{10}=1\cdot\dfrac{2^{10}-1}{2-1}=2^{10}-1$

Значение дроби

$\boxed{\dfrac{2^{10}-1}{2^5-1}}$

Раскладываем числитель по формуле разности квадратов и получаем

$\dfrac{(2^{5})^2-1}{2^5-1}=\dfrac{(2^5-1)(2^5+1)}{2^5-1}=2^5+1=32+1=33$

Если бы не дополнительные вопросы, можно было бы не вспоминать никакие формулы и геометрические прогрессии, а просто написать$\dfrac{1+\cdots+2^4+2^5+\cdots+2^9}{1+\cdots+2^4}=\dfrac{(1+\cdots+2^4)+(2^5+\cdots+2^9)}{1+\cdots+2^4}=\\=\dfrac{(1+\cdots+2^4)+(2^5+\cdots+2^9)}{1+\cdots+2^4}=\dfrac{(1+\cdots+2^4)+2^5\cdot(1+\cdots+2^4)}{1+\cdots+2^4}=\\=1+2^5=33$: