Question

Представьте в виде произведения :
a)cos 18+cos 36+cos 54+cos 72;
b)sin 40+sin 100+sin 220+sin 160

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Есть две формулы сумм синусов и косинусов:

$sin(a)+sin(b)=2sin\frac{a+b}{2}cos\frac{a-b}{2}$

$cos(a)+cos(b)=2cos\frac{a+b}{2}cos\frac{a-b}{2}$

Применяем эти формулы:

а)

$cos(18) + cos(36) + cos(54) + cos(72) = (cos(72) + cos(18)) + (cos(54) + cos(36)) =\\ =2cos\frac{72+18}{2} * cos\frac{72-18}{2} + 2cos \frac{54+36}{2} * cos\frac{54-36}{2} =\\ = 2cos(45) * cos(27) + 2cos(45) * cos(9) = 2*\frac{\sqrt{2} }{2} *cos(27)+2*\frac{\sqrt{2} }{2} *cos(9)=\\ =\sqrt{2}(cos(27) + cos(9)) =\sqrt{2}*2cos\frac{27+9}{2}*cos\frac{27-9}{2}=2\sqrt{2}cos(18)*cos(9)$

б)

$sin(40) + sin(100) + sin(220) + sin(160) =\\ = (sin(220) + sin(40)) + (sin(160) + sin(100)) =\\ =2sin\frac{220+40}{2} * cos\frac{220-40}{2} + 2sin \frac{160+100}{2} * cos\frac{160-100}{2} =\\ = 2sin(130) * cos(90) + 2sin(130) * cos(30) = 2sin(130)*0+2sin(130)*\frac{\sqrt{3} }{2} =\\ =0 + sin(130)*\sqrt{3} =\sqrt{3} *sin(130)$