Question

При каких значениях параметра p касательная к графику функции y=x^3−px в точке x0=3 проходит через точку M(5;21)?

Ответ:

Answer 1

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$

$f(x_0)=f(3)=3^3-p\cdot3=27-3p;\\\\f'(x)=3x^2-p\Rightarrow f'(x_0)=f'(3)=3\cdot3^2-p=27-p.$

Подставляем:

$y=(27-p)(x-3)+27-3p=27x-81-px+3p+27-3p=27x-px-54=(27-p)x-54.$

Если касательная проходит через точку с координатами (5; 21), то при подстановке x = 5 и y = 21 в уравнение касательной получим верное равенство, т.е.

$(27-p)\cdot5-54=21;\\\\(27-p)\cdot5=75;\\\\27-p=15\Rightarrow p=12.$

ОТВЕТ: $p=\frac{12}{1}$