Question

Сократите дробь :
a) a^2-2a/a^2-4a+4
б) a^2+5a+6/a^2-4

Answer 1

а)

$\frac{a^2-2a}{a^2-4a+4}$

Сначала разложим числитель на множители

$a^2-2a=a(a-2)$

Теперь раскладываем знаменатель на множители, для этого решаем квадратное уравнение

$a^2-4a+4=0\\D=16-16=0\\x=\frac{4}{2} =2$

Формула разложения многочлена на множителя через его корни.

$(x-x_1)(x-x_2)$

В данном случае мы имеем 1 корень, значит формула будет иметь вид

$(x-x_1)(x-x_1)\\\\(a-2)(a-2)$

Получаем дробь

$\frac{a(a-2)}{(a-2)^2} =\frac{a}{a-2}$, значит

$\frac{a^2-2a}{a^2-4a+4}=\frac{a(a-2)}{(a-2)^2} =\frac{a}{a-2}$

б)

$\frac{a^2+5a+6}{a^2-4}$

Сначала нужно решить квадратное уравнение, чтобы разложить числитель на множители

$a^2+5a+6=0\\D=25-24=1=1^2\\a_1=\frac{-5-1}{2} =-3\\a_2=\frac{-5+1}{2} =-2$

Формула разложения многочлена на множителя через его корни

$(x-x_1)(x-x_2)\\\\(a-(-3))(a-(-2))=(a+3)(a+2)$

теперь разложим числитель на множители

$a^2-4=(a-2)(a+2)$

получаем дробь

$\frac{(a+3)(a+2)}{(a-2)(a+2)} =\frac{a+3}{a-2}$, значит

$\frac{a^2+5a+6}{a^2-4}=\frac{(a+3)(a+2)}{(a-2)(a+2)} =\frac{a+3}{a-2}$