Question

Срочно! Решите кубическое уравнение:
$x^{3}+7x^{2}-5x-4=0$

Answer 1

Ответ:

$x_1=-\dfrac{16}{3}\times\cos\left(\dfrac{1}{3}\arccos\left(\dfrac{893}{1024}\right)\right)-\dfrac{7}{3}\\x_2=-\dfrac{16}{3}\times\cos\left(\dfrac{1}{3}\arccos\left(\dfrac{893}{1024}+\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)-\dfrac{7}{3}\\x_3=-\dfrac{16}{3}\times\cos\left(\dfrac{1}{3}\arccos\left(\dfrac{893}{1024}-\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)-\dfrac{7}{3}$

Объяснение:

$x^{3}+7x^{2}-5x-4=0$

Будем решать через тригонометрическую теорему Виета:

$Q=\dfrac{49+15}{9}=\dfrac{64}{9}\\R=\dfrac{2\times 343+9\times35-27\times4}{54}=\dfrac{893}{54}\\S=\dfrac{64^3}{9^3}-\dfrac{893^2}{54^2}\approx86.12>0$

Так как S>0, то:

$\varphi=\dfrac{1}{3}\arccos\left(\dfrac{\dfrac{893}{54}}{\sqrt{\dfrac{262144}{729}}}\right)=\dfrac{1}{3}\arccos\left(\dfrac{893}{1024}\right)$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1=-\dfrac{16}{3}\times\cos\left(\dfrac{1}{3}\arccos\left(\dfrac{893}{1024}\right)\right)-\dfrac{7}{3}\approx-7.589\\x_2=-\dfrac{16}{3}\times\cos\left(\dfrac{1}{3}\arccos\left(\dfrac{893}{1024}+\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)-\dfrac{7}{3}\approx1.078\\x_3=-\dfrac{16}{3}\times\cos\left(\dfrac{1}{3}\arccos\left(\dfrac{893}{1024}-\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)-\dfrac{7}{3}\approx-0.489$