Question

!!!СРОЧНО!!!Доказать сходимость числового ряда и найти его сумму

Answer 1

$1) \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{2n-1}{n^2}=2\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n}-\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^2}$

$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n}$ расходится как гармонический, $\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^2}$ сходится как обобщенный гармонический с $k=2$ => исходный ряд расходится

$2) \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{2n-1}{e^n}}=\dfrac{1}{e}<1$ а значит ряд сходится по радикальному признаку Коши.

$S= \sum\limits_{n=1}^\infty nx^n,\;\;\;\;\;x=\dfrac{1}{e}\\ S(1-x)=\sum\limits_{n=1}^\infty nx^n(1-x)=\sum\limits_{n=1}^\infty nx^n-\sum\limits_{n=2}^\infty (n-1)x^n=\sum\limits_{n=1}^\infty nx^n-\sum\limits_{n=1}^\infty (n-1)x^n=\\ =\sum\limits_{n=1}^\infty x^n\\ x=\dfrac{1}{e}:\;\;\;\; S(1-\dfrac{1}{e})=\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{e^n}=\dfrac{\frac{1}{e}}{1-\frac{1}{e}}=>S=\dfrac{\frac{1}{e}}{(1-\frac{1}{e})^2}=\dfrac{e}{(1-e)^2}$

$=>\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{2n-1}{e^n}=2\dfrac{e}{(1-e)^2}-\dfrac{1}{e-1}=\dfrac{2e+(1-e)}{(1-e)^2}=\dfrac{e+1}{(1-e)^2}$